欠信用卡五千一般不会被发卡银行起诉，因为欠款金额并不算特别高，而诉讼需要花费大量时间精力，银行没必要对小笔欠款提起诉讼。不过银行会对持卡人展开催收，应当会持续发短信、打电话提醒持卡人尽快还款。

　　而如果持卡人一直欠款不还，银行多次催款都没反应，甚至联系不上人，产生的逾期罚息又越来越多，最终导致欠款越来越大的话，银行也还是存在起诉可能的。毕竟逾期时间超过三个月时，银行就拥有起诉权利了。

　　建议持卡人赶紧还清欠款，不然拖的时间太久，要还的款项只会日益增多。而在个人征信报告里也将留下不良信息，导致个人信用受损，信用卡还很可能会被银行冻结，导致无法再用。若一次性还不完的话，先能还一点是一点，银行看到持卡人在不停还款，能够收回款项，自然也不会去进行起诉。